Modélisation d'un phénomène discret à l'aide d'une suite arithmétique - Exercice résolu

Le graphique ci-dessous indique l'évolution du nombre d'habitants d'un village entre 2019 et 2022.

1. Expliquer pourquoi le nombre d'habitants de ce village peut être modélisé par une suite arithmétique.

2. En supposant que la population de ce village continue à évoluer de la même façon, prévoir le nombre d'habitants de ce village en 2030.

Solution

1. On a :  \(1~285-1~280=5\)  ;   \(1~280-1~275=5\)  et  \(1~275-1~270=5\)  donc on constate que chaque année, le nombre d'habitants de ce village diminue de 5 habitants.

Le nombre d'habitants de ce village peut donc être modélisé par une suite arithmétique de raison –5. C'est également cohérent avec le fait que les points du graphique sont alignés.

2. Pour tout entier naturel  `n` , on note  `u_n`  le nombre d'habitants de ce village en  `2019+n` . On définit ainsi une suite arithmétique  `(u_n)` de premier terme  \(u_0=1~285\)  et de raison  \(r=-5\) .

Pour tout entier naturel  `n` ,  `u_n=u_0+nr`  soit  \(u_n=1~285-5n\) .

`2030=2019+11`  et  \(u_{11}=1~285-5\times 11=1~230\)   donc, en supposant que la population de ce village continue d'évoluer de la même façon, on peut prévoir que ce village comptera  \(1~230\)   habitants en  `2030` .

Remarque
  On peut modéliser une situation discrète par une suite arithmétique lorsqu'on passe d'une donnée à la suivante en ajoutant toujours le même nombre.